torch.linalg.eig

torch.linalg.eig(A, *, out=None)

如果可以，则计算方阵的特征值分解。

令 $\mathbb{K}$ 为实数集 $\mathbb{R}$ 或复数集 $\mathbb{C}$ ，一个 $n \times n$ 的方阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的特征值分解（如果存在）定义为：

A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}

当且仅当 $$A$$ 是对角化矩阵时，这种分解存在。如果其所有特征值都不同，则这种情况成立。

支持浮点型、双精度型、复数浮点型和复数双精度型的数据类型作为输入。还支持矩阵的批量处理，如果A是一组矩阵，那么输出将具有相同的批处理维度。

返回的特征值没有特定的顺序。

注意

实矩阵的特征值和特征向量可能为复数。

注意

当输入位于CUDA设备上时，此函数会将其与CPU进行同步。

警告

此函数假设A是对角化矩阵（例如，当所有特征值都互不相同时）。如果不能被对角化，则返回的特征值将是正确的，但 $A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$ 。

警告

返回的特征向量会被归一化为范数1。即便如此，矩阵的特征向量并不是唯一的，并且它们对于A来说也不是连续变化的。由于这种唯一性的缺失，不同的硬件和软件可能会计算出不同的特征向量。

这种非唯一性是由将特征向量乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 会产生另一组有效的矩阵特征向量所导致的。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为这个量没有明确定义。在计算该函数梯度时会进行检查。当输入位于CUDA设备上时，此函数梯度的计算会将该设备与CPU同步。

警告

使用特征向量张量计算的梯度仅在A具有不同特征值时才是有限的。此外，如果任意两个特征值之间的距离接近于零，则梯度将变得数值不稳定，因为它的计算依赖于 $\frac{1}{\min_{i \neq j} |\lambda_i - \lambda_j|}$ 。

参见

torch.linalg.eigvals() 只计算特征值。与 torch.linalg.eig() 不同，eigvals() 的梯度始终是数值稳定的。

torch.linalg.eigh() 用于计算赫mitte矩阵和对称矩阵的特征值分解，速度快于其他方法。

torch.linalg.svd() 用于计算任意形状矩阵的另一种类型的谱分解。

torch.linalg.qr() 提供了一个更快的分解方法，适用于任何形状的矩阵。

参数

A (Tensor) – 形状为(*, n, n)的张量，其中*表示零个或多个批次维度，包含可对角化的矩阵。

关键字参数

out (元组, 可选) – 由两个张量组成的输出元组。如果为None则忽略。默认值：None。

返回值

一个名为(eigenvalues, eigenvectors)的命名元组，对应于上述的 $\Lambda$ 和 $$V$$ 。

特征值和特征向量即使在矩阵 A 为实数时也可能是复数。特征向量将由特征向量的列组成。

示例:

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)